Bonjour, j’ai besoin d’aides pour ce DM parce que je suis vraiment en difficulté, merci beaucoup de l’aide que vous pouvez me fournir

Réponse :

Bonjour,

j'espère qu'il n'est pas trop tard pour t'aider !!

Explications étape par étape

1)

a)

g '(x)=60x²+6x=6x(10x+1)

g '(x) est > 0 entre ses racines car le coeff de x² est > 0 , racines qui sont x=0 et x=-1/10.

Tu fais donc un tableau de variation avec g(x) croissante sur ]-inf;-1/10] et aussi sur [0;+inf[ et décroissante sur [-1/10;0]. OK ?

Quand x tend vers -inf , lim f(x)=lim x^3=-inf.

Quand x tend vers +inf , lim f(x)=lim x^3=+inf.

f(-1/10)=10.01et f(0)=10

Tu marques ces valeurs dans ton tableau. OK ?

b) Sur ]0;-1/10] , g(x) passe de valeurs négatives à une valeur positive . Donc d'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires(TVI) , il existe un unique réel α tel que f(α)=0.

Dans les autres intervalles , g(x) est tjrs > 0.

La calculatrice donne α≈-0.85

car g(-0.85) ≈ -0.115 et g(-0.84)≈0.26272

c) Tu fais un tableau de signes cette fois-ci avec :

Sur ]-inf;α[ : g(x) < 0 .

Sur ]α;+inf[ , g(x) > 0

2)

a)

La valeur interdite qui annule le déno est x=1 donc Df=IR-{1}.

Quand x tend vers -inf , lim f(x)=lim (10x/x^3)=lim (10/x²)=0

Quand x tend vers +inf , lim f(x)=lim (10x/x^3)=lim (10/x²)=0

Quand x tend vers 1  avec x < 1 , alors (10x+1)  tend vers 11 et  (x^3-1) tend vers zéro par valeurs négatives , donc f(x) tend vers -inf.

Quand x tend vers 1  avec x > 1 , alors (10x+1)  tend vers 11 et  (x^3-1) tend vers zéro par valeurs positives, donc f(x) tend vers +inf.

Cf a donc deux asymptotes : les droites y=0 (axe des abscisses) et x=1.

b)

f(x) est une fonction quotient dérivable sur Df.

Elle est de la forme u/v avec :

u=10x+1 donc u'=10

v=x^3-1 donc v'=3x²

Tu vas trouver avec f '(x)=(u'v-uv')/v² :

f '(x)=(-20x^3-3x²-10)/(x^3-1)²

c)

f '(x) est donc du signe de (-20x^3-3x²-10) donc f '(x) est du signe contraire de g(x). OK ?

c) Voir pièce jointe.

d) La tangente horizontale a pour équation f(α) soit   y≈4.6. Voir graph joint.

e) Sur ]-inf;1] , f(x) passe par un max pour x=α soit x≈ -0.85.

Donc sur ]-inf;1] , Cf est sous sa tangente qui a pour équation f(α).

Donc en zéro , Cf est sous sa tangente.