x et y sont des nombres reels positifs .developper(racine carre de x-racine carre de y)2 (carre).En deduire que :racine carre de xy est inferieur ou egale a x+y

Bonsoir

[tex](\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=(\sqrt{x})^2-2\sqrt{x}\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2\\\\(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=x-2\sqrt{xy}+y[/tex]

Or  [tex](\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\ge0[/tex]   car un carré n'est jamais négatif.

Par conséquent  

[tex]x-2\sqrt{xy}+y\ge0\\\\x+y\ge 2\sqrt{xy}\\\\\ \ soit\\\\2\sqrt{xy}\le x+y\\\\\sqrt{xy}\le \dfrac{x+y}{2}[/tex]