1) On pose A(x) = (x + 1)² - x² 1. Développer et réduire A(x). 2. En déduire deux nombres entiers consécutifs dont la différence des carrés vaut 111. 2) Soit f 

1) On pose A(x) = (x + 1)² - x²
1. Développer et réduire A(x).

a(x) = x²+2x X x 1 + 1² - x²
= 2x+1

2. En déduire deux nombres entiers consécutifs dont la différence des carrés vaut 111.

2x+1 = 111
2x = 110
x = 55

donc 56²-55² = 111

2) Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x² - 8x + 15.
1. Montrer que : f(x) = (x - 4)² - 1.

= (x-4)² - 1 = x² - 2*x*4 +4² - 1 = x² - 8x + 15

2. En déduire la forme factorisée de f(x).

(x-4)² - 1 = (x-4)² + (-1)²
= (x-4+-1)(x-4--1)
= (x-5)(x-3)

3. Utiliser la forme la plus adaptée de f(x) pour répondre aux question suivantes :
a. Calculer f().

f(racine 3) = (rac3 - 4)² - 1.
= (rac3 - 4)² - 1
= 3 - 2 x rac3 x 4 + 4² - 1
= 3 - 8rac3 + 15
= 18 - 8rac3

b. Résoudre l'équation f(x)=0.

= (x-5)(x-3) un produit de facteurs si seulement un de ses facteurs est nul
donc x-5 = 0 donc x=5
ou x-3=0 donc x=3

s=5;3

c. Calculer f(4) et montrer que pour tout réel x : f(x) ≥ -1.
En déduire que f admet un minimum sur R.

f(4) = (4 - 4)² - 1
= 4²-2*4*4+4² - 1
= 16-32+16 - 1
= -1

f(x) = 0
(x-4)² - 1 = 0
(x-4)² = 1
tout produit de facteurs est positif donc f(x) ≥ -1.

donc minimum = 1 sur R

Bonsoir,

1)
1.1)Il s'agit de l'identité remarquable (a+b)² = a²+2ab+b²
[tex]A\left(x\right) = \left(x+1\right)^2-x^2\\ A\left(x\right) = x^2+2\times 1\times x +1^2-x^2\\ A\left(x\right) = 2x+1[/tex]

1.2)La différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs s'écrit donc 2x+1, x étant le plus petit des deux nombres.
Il faut résoudre 2x+1 = 111 :
[tex]2x+1 = 111\\ 2x = 110\\ x = 55[/tex]
Le premier nombre est 55 et le deuxième est 55+1 = 56 ; en effet, on a 56²-55² = 111.


2)
2.1)
Développons cette expression avec l'identité remarquable (a-b)² = a²-2ab+b² :
[tex]\left(x-4\right)^2-1 = x^2-2\times x \times 4 +4^2 -1 = x^2-8x+15 = f\left(x\right)[/tex]

2.2)On peut factoriser l'expression ci-dessus avec l'identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b) :
[tex]f\left(x\right) = \left(x-4\right)^2-1\\ f\left(x\right) = \left(x-4\right)^2-1^2\\ f\left(x\right) = \left(x-4-1\right)\left(x-4+1\right)\\ f\left(x\right) = \left(x-5\right)\left(x-3\right)\\[/tex]

2.3)
2.3.a)
Il faut utiliser la forme développée de f.
[tex]f\left(\sqrt 3\right) = \left(\sqrt 3\right)^2-8\sqrt 3 +1\\ f\left(\sqrt 3\right) = 3 -8\sqrt 3 +1 = 4 -8\sqrt 3[/tex]

2.3.b)
Il faut utiliser la forme factorisée de f et résoudre une équation-produit :
(x-5)(x-3) = 0
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul, donc :
x-5 = 0
x = 5
Ou
x-3 = 0
x = 3

[tex]S = \left\{3 ; 5\right\}[/tex]

2.3.c)Il faut utiliser la forme canonique de la fonction :
[tex]f\left(4\right) = \left(4-4\right)^2-1 = 0-1 = =-1[/tex]
Pour tout réel x, on a :
[tex]\left(x-4\right)^2 \geq 0[/tex]
En effet, un carré est toujours positif.
Donc on a :
[tex]\left(x-4\right)^2 -1\geq -1\\ f\left(x\right)\geq -1[/tex]

Donc -1 est le minimum de f sur R.

Si tu as des questions, n'hésite pas! =)