Bonsoir, Je suis en 1ère S et je suis bloquée sur ce problème de maths depuis une semaine et c'est à rendre demain. Pouvez-vous m'éclaircir s'il-vous-plaît ? De
Question
Je suis en 1ère S et je suis bloquée sur ce problème de maths depuis une semaine et c'est à rendre demain. Pouvez-vous m'éclaircir s'il-vous-plaît ?
Devoir :
On considère une série statistique constituée de 3 valeurs x1, x2, x3 et leurs effectif associés, n1, n2, n3.
On définit la fonction de dispersion d de la variable x par :
d(x) = n1(x1-x)²+n2(x2-x)²+n3(x3-x)² pour tout x appartient au nombre réel (R).
On définit la fonction de dispersion d de la variable x par :
d(x) = n1(x1-x)²+n2(x2-x)²+n3(x3-x)² pour tout x appartient à un nombre réel (R).
1. Écrire la fonction d sous la forme d’un polynôme du second degré ax²+bx+c, en précisant bien les valeurs des coefficients a, b, et c (en fonction des ni et des xi).
2. Démontrer que la fonction d admet un minimum.
3. Montrer que ce minimum est atteint pour x = x barre
4. Interpréter ce résultat.
Bonus : Pouvez-vous généraliser ce résultat à plus de 3 valeurs ?.
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
1) d(x) = n₁(x₁ - x)² + n₂(x₂ - x)² + n₃(x₃ - x)²
= n₁(x₁² - 2x₁x + x²) + n₂(x₂² - 2x₂x + x²) + n₃(x₃² - 2x₃x + x²)
= (n₁ + n₂ + n₃)x² - 2(n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃)x + (n₁x₁² + n₂x₂² + n₃x₃²)
= ax² + bx + c
avec :
a = (n₁ + n₂ + n₃)
b = -2(n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃)
c = (n₁x₁² + n₂x₂² + n₃x₃²)
2) d'(x) = 2ax + b (avec a > 0 car n₁, n₂, n₃ sont des effectifs donc positifs)
= 2(n₁ + n₂ + n₃)x - 2(n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃)
d(x) = 0 ⇔ x = (n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃)/(n₁ + n₂ + n₃) valeur qu'on va appeler x₀ pour le tableau de variations suivant :
x -∞ x₀ +∞
d'(x) - 0 +
d(x) décroissante croissante
Remarque : tu peux aussi répondre à cette question en remarquant juste que a > 0, donc que la fonction d(x) est d'abord décroissante puis croissante (parabole), et donc passe par un minimum.
3) le minimum est atteint pour x = x₀ = (n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃)/(n₁ + n₂ + n₃)
qui est la moyenne pondérée de la série, donc xbarre.
4) La valeur xbarre est la plus proche, en moyenne, des 3 valeurs de la série.
donc le carré de la différence (xi - x) est le plus petit possible quand x = xbarre.
et d(x), qui est la somme pondérée des 3 carrés précédents, est par conséquent minimale pour x = xbarre.
Ce qui signifie que la fonction de dispersion est minimale pour la valeur xbarre qui est la plus proche, en moyenne, des valeurs de la série.
En fait d(x) est la variance de la série.
4) on peut généraliser ce calcul avec i variables et i effectifs :
d(x) = n₁(x₁ - x)² + n₂(x₂ - x)² + n₃(x₃ - x)² + .... + ni(xi - x)²
= Ax² + Bx + C
avec :
A = ((n₁ + n₂ + n₃ + ... + ni)
B = -2(n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ + ..... + nixi
C = (n₁x₁² + n₂x₂² + n₃x₃² + .... + nixi²)
De même, d(x) atteint alors un minimum pour :
x = (n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ + ... + nixi)/(n₁ + n₂ + n₃ + ... + ni)
qui est la moyenne pondérée de la série, soit xbarre.