Bonjour j’ai ce dm pour lundi j’espère que quelqu’un pourra Répondre à ceci et me secourrir :)

Réponse :

1) déterminer la valeur de x pour que les points A(5 ; -2) , B(8 ; 2) et C(x ; 4) forment un triangle rectangle en A

2) déterminer la valeur de x pour que les points A(5 ; - 2), B(8 ; 2) et C(x ; 4) forment un triangle isocèle en B

Explications étape par étape

il faut tout d'abord calculer les longueurs  AB² , AC²  et BC²

AB² = (8 - 5)²+ (2+2)² = 3²+4² = 9+16 = 25

AC² = (x - 5)² + (4+2)² = x²- 10 x + 25 + 36 = x²- 10 x + 61

BC² = (x - 8)² + ( 4 - 2)² = x²-16 x + 64 + 4 = x²- 16 x + 68

on utilise le théorème de Pythagore

BC² = AB²+AC²  ⇔ x²- 16 x + 68 =  25 + x²- 10 x + 61

⇔ 16 x - 10 x + 86 - 68 = 0

⇔ 6 x + 18 = 0 ⇒ 6 x = - 18 ⇒ x = - 18/6 = - 3

x = - 3

vérification : BC² = AB²+AC²  ⇔ (-3)²- 16(-3) + 68 =  25 + (-3)²- 10(-3) + 61

(-3)²- 16(-3) + 68 =  25 + (-3)²- 10(-3) + 61

9 + 48 + 68 = 25 + 9 + 30 + 61

        125      =    125

⇒ donc la valeur de x = - 3 est bonne

2) pour que ABC soit isocèle en B, il faut que les longueurs AB et BC soient égales

AB = √(8 - 5)²+(2+2)² = √(9 + 16) = √25 = 5

BC = √(x - 8)²+ (4 -2)² = √[(x- 8)²+ 4]

BC = AB  ⇔ √[(x- 8)²+ 4] = √25  ⇔ (x - 8)² + 4 = 25    avec (x -8)²+ 4 > 0

x²- 16 x + 64 + 4 = 25 ⇔ x² - 16 x + 43 = 0

Δ = (-16)²- 4*43 = 256 - 172 = 84⇒ √84 ≈ 9

x1 = 16 +9.2)/2 = 12.6

x2 = 16 - 9.2)/2 = 3.6