Bonjour, C'est un exercice en maths sur lequel je bloque depuis déjà plusieurs jours. J'aurais besoin qu'on m'explique comment faire. Démontrer que pour tout en

Réponse :

(2;3;4;5;6;7) sont consécutifs non tous premiers

Explications étape par étape

n!+2=1.2.3....n+2=2(1.3.4...n+1) non premier

n!+3=1.2.3....n+3=3(1.2.4.5...n+1) non premier

.. etc

n!+n=1.2.3....n+n=n(1.2.3...(n-1)+1) non premier

1) Les nombres n! +2 ; n! + 3 ; ... n! + n sont composés :

en effet n! + 2 est divisible par 2 car les deux termes de la somme n! et 2 sont divisibles par 2.

n! + 3  : n! et 3 sont divisibles par 3, la somme est divisible par 3

n! + n : n! et n sont divisible par n, la somme est divisible par n.

Tous ces nombres ont un diviseur autre que 1 et eux-mêmes, ce sont des nombres composés.

2) les entiers suivants sont consécutifs

n! + 2 ; n! + 3 ; n! + 4 ; n! + 5 ; n! + 6 ; n! + 7 ; ...

et on vient de montrer qu'ils ne sont pas premiers

Il suffit de prendre n≥7  pour en obtenir six. Je choisis n=7

7! + 2 ; 7! + 3 ; 7! + 4 ; 7! + 5 ; 7! + 6 ; 7! + 7

sont six entiers consécutifs non premiers.

remarque: en choisissant n = 8 on trouvera de la même manière sept entiers consécutifs non premiers.

Il est inutile de calculer ces nombres, on les garde sous cette forme.