bonsoir je bloque sur une question Dans un repère orthonormé, P est la parabole d'équation y=2x²-5x-3. d est la droite d'équation y=x+p 1) Pour quelle valeur de

Bonsoir,

1) Résolvons le système composé par les deux équations et imposons que ce système n'admette qu'une seule solution.

[tex]\left\{\begin{matrix}y=2x^2-5x-3\\y=x+p\end{matrix}\right.\\\\2x^2-5x-3=x+p\\\\2x^2-6x-3-p=0[/tex]

Puisque le système ne doit admettre qu'une seule solution, cette équation du second degré ne doit admettre qu'une seule solution.
Son discriminant est donc égal à 0.

[tex]\Delta=(-6)^2-4\times2\times(-3-p)\\=36-8(-3-p)\\=36+24+8p\\=60+8p[/tex]

[tex]\Delta=0\\\\60+8p=0\\\\8p=-60\\\\p=-\dfrac{60}{8}\\\\p=-\dfrac{15}{2}[/tex]

La solution de cette équation est alors : 

[tex]x=\dfrac{6}{2\times2}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} [/tex]

et  [tex]y=x+p=\dfrac{3}{2}-\dfrac{15}{2}\\\\y=-\dfrac{12}{2}\\\\y=-6. [/tex]

Les coordonnées du point A sont  [tex]A(\dfrac{3}{2};-6)[/tex]

2) Une équation de la tangente en A est de la forme : [tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)[/tex]

a = 3/2
f(a) = -6
f '(x) = (2x² - 5x - 3)² = 4x - 5  
      ====> [tex] f'(a) = f'(\dfrac{3}{2})=4\times\dfrac{3}{2}-5=6-5=1[/tex]

L'équation de la tangente en A est donc : 

[tex]y=1(x-\dfrac{3}{2})-6\\\\y=x-\dfrac{3}{2}-\dfrac{12}{2}\\\\y=x-\dfrac{15}{2}[/tex]

Or la droite d admet comme équation : 

y = x + p

y = x - 15/2   (puisque p = -15/2).

La droite d est donc la tangente à la parabole au point A.