1S, bonjour, s'il vous plaît merci d'avance [tex]f(x) = \sqrt{2 {x}^{2} - x - 1 } [/tex] 1) déterminer Df 2) écrire le trinôme T(x) = 2x^2 -x-1 sous forme canon

Bonjour;

1)

la fonction f est définie si : 2x² - x - 1 ≥ 0 .

Le discriminant de 2x² - x - 1  est : Δ = (- 1)² - 4 * (- 1) * 2 = 1 + 8 = 9 ;

donc 2x² - x - 1 s'annule pour x = (1 + √9)/4 = 1 ou x = (1 - 3)/4 = - 1/2 ;

donc 2x² - x - 1 ≥ 0 pour x ∈ ] - ∞ ; - 1/2] ∪ [1 ; + ∞ [ .

Conclusion : Df = ] - ∞ ; - 1/2] ∪ [1 ; + ∞ [ .

2)

T(x) = 2x² - x - 1 = 2(x² - 1/2 x) - 1 = 2(x² - 2 * 1/4 * x + 1/16 - 1/16) - 1

= 2((x - 1/4)² - 1/16) - 1 = 2(x - 1/4)² - 1/8 - 1 = 2(x - 1/4)² - 9/8 .

3)

Considérons tout d'abord ce théorème :

Soient deux fonctions f : I → ℝ et g : J → ℝ, où I et J sont deux intervalles réels tels que f(I) ⊂ J ; on peut définir la fonction composée g ∘ f : I → ℝ.

   si f et g sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, alors g ∘ f est croissante ;

   si l'une des deux fonctions f, g est croissante et l'autre décroissante, alors g ∘ f est décroissante.

Le coefficient de second degré de la fonction T est : 2 > 0 ;

donc T est strictement décroissante sur ] - ∞ ; 1/4[ ;

donc elle est strictement décroissante sur ] - ∞ ; - 1/2[ .

La fonction racine carrée est toujours strictement croissante sur

son domaine de définition ; donc la fonction f qui est la composée

de la fonction T et la fonction racine carrée , donc f est strictement

décroissante sur ] - ∞ ; - 1/2[ .

De même on trouvera que f est strictement croissante sur [1 ; + ∞ [ .