Bonjour, j'ai un problème en spé maths, j'aurais besoin d'aide. Merci d'avance! Démontrer que l'équation x² - 3y² = 5 n'a pas de couple d'entiers solution

Nous allons analyser l'équation par rapport au reste dans la division par 3. Dans la partie droite, nous avons [tex] 5 \equiv2 \pmod3 [/tex]. Donc, le côté gauche devrait avoir le même résultat. Ensuite,

[tex]x^2-3y^2\equiv2\pmod3~~(i)[/tex]

Mais nous savons que x et y sont des entiers. Donc, puisque 3y² est un multiple de 3:

[tex]3y^2\equiv0\pmod3[/tex]

Par conséquent, en utilisant cela dans (i):

[tex]x^2-3y^2\equiv2\pmod3\\\\x^2-0\equiv2\pmod3\\\\x^2\equiv2\pmod3~~(ii)[/tex]

Maintenant, nous allons essayer de trouver une valeur de x qui obéit à l'équation ci-dessus. Il suffit de voir les 3 cas possibles pour x:

→ Si x est un multiple de 3, c’est-à-dire, [tex]x=3k,~k\in\mathbb{Z}[/tex]:

[tex]x^2 = (3k)^2=9k^2[/tex]

C'est un multiple de 9, donc un multiple de 3 aussi. Donc:[tex]x^2\equiv\pmod3[/tex]

→ Si x présente 1 comme le reste en division par 3, c'est-à-dire, [tex]x=3k+1,~k\in\mathbb{Z}[/tex]:

[tex]x^2 = (3k+1)^2=9k^2+6k+1[/tex]

Les deux premiers termes (9k² et 6k) sont des multiples de 3. Donc:

[tex]x^2=9k^2+6k+1\equiv0+0+1\pmod3\\\\x^2\equiv1\pmod3 [/tex]

→ Si x présente 2 comme le reste en division par 3, c'est-à-dire, [tex]x=3k+2,~k\in\mathbb{Z}[/tex]:

[tex]x^2 = (3k+2)^2=9k^2+12k+4[/tex]

Les deux premiers termes (9k² et 12k) sont des multiples de 3. Donc:

[tex]x^2=9k^2+6k+1\equiv0+0+4\pmod3\\\\x^2\equiv4\pmod3\\\\x^2\equiv1\pmod3 [/tex]

En conclusion, il n'y a pas de valeur entière pour x rendant vraie l'équation (ii).