Exercice de mathématiques 1ereS : second degré Bonsoir à tous, je ne vois pas comment m’y prendre pour résoudre cet exercice, quelqu’un pourrait-il m’apporter s
Question
second degré
Bonsoir à tous, je ne vois pas comment m’y prendre pour résoudre cet exercice, quelqu’un pourrait-il m’apporter son aide s’il vous plaît ?
Merci d’avance
Voici l’énoncé :
Dans un repèreorthonormé (0,i,j) on considère le point A(1;2) et un point P(x;0) avec x un réel strictement supérieur à 1. La droite (AB) coupe l’axe des ordonnées en Q.
1) Montrer que l’air du triangle OPQ : A(x) = x^2 / (x-1)
2) Trouver les valeurs de x telles que A(x) =< 4,5
En traçant un schéma je trouve que OPQ forme un triangle rectangle en O
Je pose OP=x tel que x>1 d’où x-1>0
De plus l’aire de A (OPQ)= OP*OQ/2
Après je bloque je ne vois pas comment arriver à l’expression donnée :-/
1 Réponse
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1. Réponse laurent0606
Il doit y avoir une erreur; le point et P et B doivent etre les memes :)
sinon, effectivement, l'aire est OP*OQ/2
(base x hauteur / 2)
OP = x
mais OQ ... c'est cela quil faut chercher
comme Q est sur l'axe des ordonnees, les coordonnes de Q sont [0;q]
(q est un reel, l'ordonnee du point Q)
Q est l'intersection de la droite (AB) (ou (AP)) avec l axe des ordonnees
il faut donc trouver l'equation de la droite et prendre la valeur pour x=0
une droite s ecrit : y=az+b (j 'utilise z a la place de x ici pour plus de clarete et ne pas confondre avec le x du point P)
on a deux points (A et P) on peut trouver a et b, ici on a besoin que de b, c'est a dire pour z=0
point [1;2] donne 2=a+b
point [x;0] donne 0=ax+b donne a=-b/x
que l on remet dans la premiere : 2 = -b/x+b
on cherche b (en fonction de x, qui est une donnee du probleme)
donc on factorise:
2=b*(1-1/x)=b*(x-1)/x
donc b=2x/(x-1)
donc l'aire est
OP*OQ/2 = ( x * 2x / (x-1) ) / 2 = x^2/(x-1)
bon; cela montre bien que dans l'enonce c'est soit B soit P et c est le meme point, relis...
deuxieme question:
dans l'enonce, x>1
deja on voit bien que geometriquement, quand x est tres grand, le triangle est grand vers la droite, mais aussi quand x se rapproche de 1 , le triangle est grand vers le haut (ce n est pas une demo)
il faut donc resoudre l'equation...
x^2 / (x-1) >= 4,5
comme x>1 , (x-1)>0
donc x^2 <= 4,5(x-1)
donc x^2 <= 4,5x-4,5
donc x^2 - 4,5x + 4,5 <= 0
eh bien voila ! plus qu'une resolution d'equation du second degre ! pour x allant de 1 a infini.
le facteur du carre etant positif la parabole est tournee vers le haut, il y a donc un minimum...
et s'il y a deux solutions; les solutions sont x>=petite racine et x<=grande racine