Bonjour Le but de cet exercice est de résoudre le problème suivant : Parmi les rectangles de périmètre 100, y en a-t-il dont l’aire est la plus grande ? On appe
Mathématiques
seburm5775
Question
Bonjour Le but de cet exercice est de résoudre le problème suivant : Parmi les rectangles de périmètre 100, y en a-t-il dont l’aire est la plus grande ? On appelle x la longueur d’un côté d’un rectangle de périmètre 100, et A l’aire de ce rectangle. a) Montrer que A peut s’exprimer en fonction de x par : A (x) = −x2 + 50x. b) Quel est l’ensemble de définition de la fonction A ? c) En utilisant la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction A sur l’intervalle donné a la question précédente. Conjecturer la valeur du maximum de A ainsi que le x en lequel il est atteint, puis le montrer par le calcul. d) Quelle est, finalement, la nature des rectangles de périmètre 100 ayant la plus grande aire possible ?
1 Réponse
-
1. Réponse jpmorin3
a) Soit ABCD un rectangle de périmètre 100. Si l'un des côtés mesure x , l'autre côté mesure 50 - x (demi-périmètre - x)
Aire : f(x) = x(50 -x) = -x² + 50x
b) x est compris entre 0 et 50 ensemble de définition ]0 ; 50[
c) à toi de calculer les coordonnées de plusieurs points pour tracer la courbe
f'(x) = -2x + 50, le maximum est atteint quand f'(x) = 0 soit x = 25.
d) parmi tous les rectangles possible celui qui a l'aire la plus grande est celui qui est un carré.