Salut salut je poste ici pck je bloque sur cet exo et je demanderais de l'aide merci de d'avance de votre gentillesse Exercice 2 On considère un carré ABCD de c
Mathématiques
hancausse
Question
Salut salut je poste ici pck je bloque sur cet exo et je demanderais de l'aide merci de d'avance de votre gentillesse
Exercice 2
On considère un carré ABCD de côté 10 cm.
Sur le côté [AB], on place un point L.
On pose AL=x (en cm) et on place sur [DA] un point P tel que DP=x cm.
On construit alors le triangle LCP.
Le but est de déterminer s’il existe un triangle LCP d’aire minimale
et si oui lequel.
On appelle f la fonction qui à tout x de [0 ; 10] associe l’aire du triangle
LCP
En déduire que f ( x) = 1/2(x-5 ) ² + 75/2
1. a. Exprimer en fonction de x les longueurs des segments AL, BL, DP puis AP.
b. Exprimer en fonction de x les aires des triangles ALP, LBC et CDP.
c. En déduire que f ( x) = 1/2(x-5 ) ² + 75/2
2. a. Justifier que, pour tout x de [0 ; 10], f (x) ≥ 37, . 5
b. Peut-on avoir f (x) = 37,5 ?
c. Existe-t-il un triangle d’aire minimale ?
Si oui, préciser les points L et P.
Exercice 2
On considère un carré ABCD de côté 10 cm.
Sur le côté [AB], on place un point L.
On pose AL=x (en cm) et on place sur [DA] un point P tel que DP=x cm.
On construit alors le triangle LCP.
Le but est de déterminer s’il existe un triangle LCP d’aire minimale
et si oui lequel.
On appelle f la fonction qui à tout x de [0 ; 10] associe l’aire du triangle
LCP
En déduire que f ( x) = 1/2(x-5 ) ² + 75/2
1. a. Exprimer en fonction de x les longueurs des segments AL, BL, DP puis AP.
b. Exprimer en fonction de x les aires des triangles ALP, LBC et CDP.
c. En déduire que f ( x) = 1/2(x-5 ) ² + 75/2
2. a. Justifier que, pour tout x de [0 ; 10], f (x) ≥ 37, . 5
b. Peut-on avoir f (x) = 37,5 ?
c. Existe-t-il un triangle d’aire minimale ?
Si oui, préciser les points L et P.
1 Réponse
-
1. Réponse trudelmichel
bonjour,
AL=x
LB=10-x
DP=x
AP=10-x
1 aire du triangle ALP
1/2(x)(10-x)=1/2(10x-x²)=5x-1/2x²
2) aire du trinagle LBC
1/2(10-x)(10)=1/2(100-10x)=50-5x
3) aire du triangle PDC
1/2(x)(10)=5x
4) aire des 3 triangles
(5-12/x²)+(50-5x)+(5x)=
5-1/2x²+50-5x+5x=
-1/2x²+5x+50
5) aire du triangle LPC
aire du carré-aire des triangles
100-(-1/2x²+5x+50)
100+1/2x²-5x-50
1/2x²-5x+50
5) forme canonique
a(x-α)²+β
α=-b/2a α=5/1 α=5
β=f(α)
f(5)=1/2(5²)-5(5)+50
12.5-25+50 =37.5
β=37.5 ou75/2
f(x)=1/2(x-5)²+75/2
ax²+bx+c admet un minimum si a>0
1/2>0
f(x) admet un minimum
(α;β)
soit(5;37.5)
d'où f(x)≥37.5
f(x)=37.5 x=5
aire minimale 37.5
x=5
L est au milieu de AB
et P est au milieu de AD