20 POINTS !!! Bonsoir, pouvez-vous m'aider à faire cet exercice, s'il vous plaît ? Merci d'avance pour votre aide !

1. Si I est le milieu de [BC], on peut écrire que:

[tex]I = \dfrac{B+C}{2}[/tex]

De plus, un vecteur [tex]\overrightarrow{XY}[/tex] peut être écrit sous la forme [tex]Y-X[/tex]. Then:

[tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(B-A)+(C-A)\\\\\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=B+C-2A\\\\\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\left(\dfrac{B+C}{2}\right)-2A\\\\\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2I-2A\\\\\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2(I-A)\\\\\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}}[/tex]

2. a. Nous allons manipuler le côté gauche de l'équation que nous essayons de prouver:

[tex]\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AF}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=(F-A)-[(B-A)+(C-A)]\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=F-A-B+A-C+A\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=F-B+A-C\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=(F-B)+A-C\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BF}+A-C[/tex]

Cependant, [tex]\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AE}[/tex]. Ainsi:

[tex]\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+A-C\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=E-A+A-C\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=E-C=\overrightarrow{CE}[/tex]

Using above that [tex]\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{CD}[/tex]:

[tex]\boxed{\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{CD}}[/tex]

b. En utilisant la dernière expression que nous avons trouvée:

[tex]\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=2(D-C)\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=2\left[D+B-B-C\right]\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=2\left[(D+B)-(B+C)\right]\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=2\left[2\left(\dfrac{D+B}{2}\right)-2\left(\dfrac{B+C}{2}\right)\right]\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=2[2J-2I]\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=4[J-I]\\\\\boxed{\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=4\overrightarrow{IJ}}[/tex]

3. Par l'expression ci-dessus:

[tex]\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=4(J-I)\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=4(J-A+A-I)\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=4[(J-A)+(A-I)]\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=4[\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}]\\\\\overrightarrow{AF}-2\overrightarrow{AI}=4\overrightarrow{AJ}-4\overrightarrow{AI}\\\\\overrightarrow{AF}+2\overrightarrow{AI}-4\overrightarrow{AJ}=0[/tex]

Comme il existe une combinaison linéaire nulle des vecteurs AI, AJ et AF, ils sont coplanaires.

4. Les vecteurs AI, AJ et AF sont coplanaires. Par conséquent, A, I, J et F sont également des points coplanaires.

Obs: La forme abrégée (telle que "A") utilisée comme un point dans les expressions mathématiques peut être interprétée comme le vecteur "OA", où O est le point d'origine. Il n'y a pas de différence dans les deux formes, mais la seconde est la meilleure, si vous voulez que je sois plus formel.