Bonjour a tous, j'ai eu un DM à fair pour la rentrée j'ai fait tout les exercices sauf celui ci sur un chapitre qui me pose particulièrement problème. Je vous r

Bonjour,

1) On sait que l'éclairement (je l'appelle E) est :

. proportionnel au cosinus de θ

cos(θ) = OS/AS

donc E = k x OS/AS   k étant le coefficient de proportionnalité

. inversement proportionnel à AS²

donc E = k' x 1/AS²

AS² = OS²² + OA² = h² + 9

Donc E est proportionnel à OS/AS ⇔ E = k x  h/√(h² + 9)

et inversement proportionnel à AS ⇒ E = k' x 1/(h² + 9)

On en déduit E = kk' x h/(h² + 9)√(h² + 9)

2) f(x) = x/(x² + 9)√(x² + 9)   définie sur I = [0;+∞[

⇔ f(x) = x/(x² + 9)^(3/2)

de la forme u/v avec :

u(x) = x ⇒ u'(x) = 1

et v(x) = (x² + 9)^(3/2) ⇒ v'(x) = 3/2 * 2x * (x² + 9)1/2 = 3x(x² + 9)^(1/2)

⇒ f'(x) = [(x² + 9)^(3/2) - x*3x(x² + 9)^(1/2)]/(x² + 9)³

= (x² + 9)^(1/2) * [(x² + 9) - 3x²]/(x² + 9)³

= (-2x² + 9)/(x² + 9)^(5/2)

(x² + 9)^(5/2) = √[(x² + 9)⁵] donc > 0 sur I

donc signe de f'(x) = signe de (9 - 2x²) = (3 - x√2)(3 + x√2)

x         0                    3/√2                 +∞

f'(x)                  +            0          -

f(x)          croissante           décroissante

3) f est maximale pou x = 3/√1

Soit un éclairement maximum pour h = 3/√2 m ≈ 2,12 m