Mathématiques

Question

Bonjour j'aurai besoin d'aide svp pour un DM
Second degré classe de 1er

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x²-7x+10

1) Montrer que la forme canonique de f est bien f (x) = (x - 3.5)² - 2.5

2) Déterminer le tableau de variation de f

3) Montrer que la forme factorisée de f est bien f (x) = (x - 2)(x - 5)

4) En déduire les solutions de f (x) = 0

Merci d'avance :)

1 Réponse

  • f(x) = x² - 7 x + 10 est définie sur R

    1) montrer que la forme canonique de f est bien f(x) = (x - 3.5)² - 2.5

    la forme canonique générale peut s'écrire :  f(x) = a(x - α)²+β

    avec  α = - b/2a = 7/2 = 3.5

    et β = f(α) = f(3.5) = (3.5)² - 7*3.5 + 10

                                =  12.25 - 24.5 + 10

                                = 22.25 - 24.5 =  2.25

    La forme canonique est : f(x) = (x - 3.5)² - 2.25  et non (x-3.5)²- 2.5

    2) déterminer le tableau de variation de f

    x      - ∞                             3.5                       + ∞

    f(x)   + ∞→→→→→→→→→→→ - 2.25 →→→→→→→→→ + ∞

                 décroissante              croissante

    3) montrer que la forme factorisée de f est bien f(x) = (x - 2)(x - 5)

    f(x) = (x - 3.5)² - 2.25 ⇔ f(x) = (x - 3.5)² - √2.25²

    Identité remarquable a² - b² = (a+b)(a-b)

    f(x) = (x - 3.5)² - √2.25² = (x - 3.5 + √2.25)(x - 3.5 - √2.25)

    √2.25 = 1.5

    f(x) = (x - 3.5 + √2.25)(x - 3.5 - √2.25)

         = (x - 3.5 + 1.5)(x - 3.5 - 1.5)

         = (x - 2)(x - 5)

    4) en déduire les solutions de f(x) = 0

    f(x) =  (x - 2)(x - 5) = 0 ⇒ x - 2 = 0 ⇒ x = 2 ou x-5 = 0 ⇒ x = 5

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