Bonjour je suis en terminale S je ne comprends pas mon exercice On considère la suite u définie pour tout entier n≥1 par un=n!/n^n (que signifie le '!') Sachant

Le ! signifie factoriel. Par exemple, 5! = 1+2+3+4+5

Bonne chance !

Bonjour;

Tout d'abord , la factorielle d'un nombre entier naturel n est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Cette opération est notée avec un point d'exclamation : n! , ce qui se lit soit « factorielle de n», soit « factorielle n » soit « n factorielle ».

Par exemple : 3! = 1 x 2 x 3 = 6 ; 2! = 1 x 2 et 1! = 1 .

Par convention , on a : 0! = 1 .

On a :

[tex]\forall n\in\mathbb N^* : u_n=\dfrac{n!}{n^n} \ et \ u_{n+1}=\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\ ;\\\\\\donc\ :\ \dfrac{u_n}{u_{n+1}}=\dfrac{n!}{n^n}\times\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\\\\\\=\dfrac{n!}{(n+1)!}\times\dfrac{(n+1)^{n+1}}{n^n}=\dfrac{n!}{(n+1)\times n!}\times\dfrac{(n+1)\times(n+1)^n}{n^n}\\\\\\=\dfrac{(n+1)^n}{n^n}=(\dfrac{n+1}{n})^n=(1+\dfrac{1}{n})^n\ge 1+n\times\dfrac{1}{n}=1+1=2\ .[/tex]