Ce cours vous est proposé par l'équipe de Brainly/Nosdevoirs Matière : Mathématiques Niveau : 4ème Chapitre : Le Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle il existe une relation entre les longueurs de ses côtés donnée par le théorème de Pythagore :

"Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés"

On appelle hypoténuse le plus grand côté du triangle, celui-ci est toujours le côté opposé de l'angle droit.

Soit le triangle ABC rectangle en A donné en image jointe, une version un petit peu plus mathématique du théorème est : [tex]BC^2=AB^2+AC^2[/tex]

   1 - Trouver une longueur dans un triangle rectangle

Prenons un triangle ABC rectangle en A. On nous donne AB = 2 cm et AC = 3 cm. Que vaut BC ?

Rédaction :

Dans le triangle ABC rectangle en A on a d'après le théorème de Pythagore :  [tex]BC^2=AB^2+AC^2[/tex]

[tex]BC^2=2^2+3^2[/tex]

[tex]BC^2=4+9[/tex]

[tex]BC^2=13[/tex]

[tex]\boxed{BC=\sqrt{13} \approx 3,61 \ cm}[/tex]

A présent, on considère que l'on connaît BC = 10 cm et AB = 3 cm. Que vaut AC ?

Dans le triangle ABC rectangle en A on a d'après le théorème de Pythagore :  [tex]BC^2=AB^2+AC^2[/tex]

[tex]AC^2=BC^2-AB^2[/tex]

[tex]AC^2=10^2-3^2[/tex]

[tex]AC^2=100-9[/tex]

[tex]AC^2=91[/tex]

[tex]\boxed{AC=\sqrt{91} \approx 9,54 \ cm}[/tex]

   2 - Démontrer qu'un triangle est rectangle

Dans cette partie on suppose que l'on nous donne les trois longueurs et on veut savoir si le triangle est rectangle ou non.

AB = 2 cm, AC = 3 cm et BC = 4 cm

Rédaction :

Dans le triangle ABC, BC est le plus grand côté.

D'une part : [tex]BC^2=4^2=16[/tex]

D'autre part : [tex]AB^2+AC^2=2^2+3^2=4+9=13[/tex]

AB² + AC² ≠ BC²

D'après le théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.

AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm

Rédaction :

Dans le triangle ABC, BC est le plus grand côté.

D'une part : [tex]BC^2=5^2=25[/tex]

D'autre part : [tex]AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25[/tex]

BC² = AB² + AC²

D'après le théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en A.

Astuce : Pour savoir en quel point le triangle est rectangle, on regarde quel point n'est pas présent dans l'hypoténuse.

Ici l'hypoténuse est BC, le triangle est donc rectangle en A.