BONJOUR AIDER MOI SVP je ne comprends vraiment rien

Bonjour,

L'image est très floue !.

Exercice

1)

[tex]z=x+iy\\\\z'=\dfrac{z+1-i}{z-2}\\\\=\dfrac{x+iy+1-i}{x+iy-2}\\\\\\=\dfrac{(x+iy+1-i)(x-2-iy)}{(x-2+iy)(x-2-iy)}\\\\=\dfrac{x^2+x-2x-2+y^2-y+i(xy-x-2y+2-xy-y}{(x-2)^2+y^2}\\\\=\dfrac{x^2+y^2-x-y-2+i(-x-3y+2)}{(x-2)^2+y^2}\\[/tex]

2)

z' est réel si (x-2)²+y²≠0 donc z'≠2+0*i ce qui est le cas car z≠2.

L'ensemble des points M est la droite y=-x/3+2/3

Problème:

[tex]\begin{cases}a_0=1\\b_0=7\end{cases}\\\\\begin{cases}a_{n+1}=\dfrac{2a_n+b_n}{3}\\b_{n+1}=\dfrac{a_n+2b_n}{3}\end{cases}\\\\1a.\ voir\ fichier\ joint\\1b.\ \textrm{ les deux suites convergent vers 4.}\\[/tex]

[tex]2a.\\D\'emonstration par r\'ecurrence.\\[/tex]

[tex]a_0=1\leq 7=b_0\\\textrm{on suppose la propri\'et\'e vrai pour n et on d\'emontre qu'elle est vraie pour n+1}\\\\a_n \leq b_n\\\Longleftrightarrow\ \dfrac{a_n}{3} \leq \dfrac{b_n}{3}\\\\\Longleftrightarrow\ \dfrac{2a_n}{3} - \dfrac{a_n}{3} \leq \dfrac{2b_n}{3} - \dfrac{b_n}{3}\\\\\Longleftrightarrow\ \dfrac{2a_n}{3} + \dfrac{b_n}{3} \leq \dfrac{2b_n}{3} + \dfrac{a_n}{3}\\\\\Longleftrightarrow\ \dfrac{2a_n+b_n}{3} \leq \dfrac{a_n+2b_n}{3} \\\\[/tex]

[tex]\Longleftrightarrow\ a_{n+1} \leq b_{n+1}\\\\b)\\a_{n+1}-a_n=\dfrac{2a_n+b_n}{3}-a_n\\\\=\dfrac{-a_n+b_n}{3}\\\\=\dfrac{b_n-a_n}{3} \geq \dfrac{0}{3} \geq 0 \\\\(a_n)\ est\ croissante.\\\\b_{n+1}-b_n=\dfrac{a_n-b_n}{3} \geq 0\\car\ 0 \leq  a_n \leq b_n\\(b_n)\ est\ d\'ecroissante.\\\\c).\\a_n\leq b_n\leq b_0=7\\b_n \geq a_n \geq a_0 =1\\\\d).\\(a_n) \textrm{ est croissante et major\'ee par 7, est donc convergente}\\\\[/tex]

[tex](b_n) \textrm{ est d\'ecroissante et minor\'ee par 1, est donc convergente}\\[/tex]

3)

[tex]u_n=a_n+b_n\\\\u_{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}\\\\=\dfrac{2a_n+b_n}{3}+\dfrac{a_n+2b_n}{3}\\\\=a_n+b_n=u_n\\\\(u_n)\ est\ une\ constante\ 1+7=8\\[/tex]

[tex]v_n=a_n-b_n\\v_{n+1}=\dfrac{2a_n+b_n}{3}-\dfrac{a_n+2b_n}{3}\\\\v_{n+1}=\dfrac{a_n-b_n}{3}\\\\v_{n+1}=\dfrac{v_n}{3}\\\\v_0=a_0-b_0=1-7=-6\\\\\boxed{v_{n}=-6*(\dfrac{1}{3})^n}\\[/tex]

4)

[tex]\begin{cases}u_n=a_n+b_n\\v_n=a_n-b_n\end{cases}\\\\\begin{cases}u_n=8\\v_n=-6*{(\dfrac{1}{3})}^n\end{cases}\\\\\begin{cases}a_n=\dfrac{u_n+v_n}{2}\\b_n=\dfrac{u_n-v_n}{2}\end{cases}\\\\\begin{cases}a_n=\dfrac{8-6*(\dfrac{1}{3})^n}{2}\\b_n=\dfrac{8+6*(\dfrac{1}{3})^n}{2}\end{cases}\\\\ \lim_{n \to \infty} a_n =\dfrac{8}{2}=4\\ \lim_{n \to \infty} b_n =\dfrac{8}{2}=4\\[/tex]