Bonjour pouvez-vos m'aider pour les inéquations merci

bonjour

f(x) = (x-2) (x+6)

=> f(x) = x²+ 6x - 2x -12 = x²+ 4x - 12 = (x+2)² - 4 - 12 = (x+2)² - 16

f(x) ≤ 0

on va utiliser (x-2) (x+6) pour faire un tableau de signes

(x-2) ≥ 0 => x ≥ 2

(x+6) ≥ 0 => x ≥ -6

x                 -∞             -6                   2                 +∞

x+2                      -                  -                     +

x+6                      -                  +                    +

f(x)                       +                 -                    +

=>f(x) ≤0 quand x ∈ [-6;-2]

f(x) ≤ 20

on va utiliser (x+2)² - 16 ≤ 20

(x+2)² - 16 - 20 ≤ 0

(x+2)² - 36 ≤ 0

(x+2-6) (x+2+6) ≤ 0

(x-4) (x+8) ≤ 0

=> tableau de signes comme pour au-dessus :)

f(x) ≤ x² + 4

x²+ 4x - 2 ≤ x² + 4

4x -2 - 4 ≤ 0

4x - 6 ≤ 0   - je te laisse faire la suite.. :)

soit  f(x) = (x - 2)(x + 6)  pour tout x réel

1) vérifier que, pour tout x réel

(x - 2)(x + 6) = x² + 4 x - 12 = (x + 2)² - 16

(x - 2)(x + 6) = x² + 6 x - 2 x - 12 = x² + 4 x - 12

x² + 4 x - 12 + 4 - 4 = (x² + 4 x + 4) - 16 = (x + 4)² - 16

x² + 4 x + 4  est une identité remarquable  a² + 2ab + b² = (a+b)²

2) résoudre chacune des équations suivantes en choisissant l'expression de f(x) la mieux adaptée

a) f(x) ≤ 0  ⇔ (x - 2)(x + 6) ≤ 0  l'ensemble des solutions  S = [- 6 ; 2]

b) f(x) ≤ 20 ⇔ (x + 2)² - 16 ≤ 20 ⇔ (x + 2)² - 36 ≤ 0 ⇔ (x + 2 + 6)(x + 2 - 6) ≤0

⇔ (x + 8)(x - 4) ≤ 0  l'ensemble des solution est :  S = [- 8 ; 4]

c) f(x) ≤ x² + 4 ⇔ x² + 4 x - 12 ≤ x² + 4 ⇔ 4 x - 16 ≤ 0 ⇔ 4(x - 4) ≤ 0 ⇒ x ≤ 4

L'ensemble des solutions est  S = ]- ∞ ; - 4]