Démontrer que pour tout entier naturel n, l’entier (2X9 puissance n ) - (9X2 puissances) est divisible par 7 merci de votre aide

L'énoncé correct est : pour tout naturel n

2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ  est divisible par 7

On le démontre par récurrence :

1) Calcul pour n=2

2x 9² - 9 x 2² = 2 x 81 - 9 x 4 = 126 = 7 x 18

2) je démontre que si cette propriété est vraie pour le rang n alors elle est vraie pour le rang n+1

Hypothèse :  2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ  est divisible par 7

(j'ai un petit souci, je n'arrive pas à mettre n+1 en exposant, je vais utiliser "^")

2 x 9^n+1 - 9 x 2^n+1 = 2 x 9 x 9ⁿ - 9 x 2 x 2ⁿ  

j'ai fait apparaître l'exposant est n.

J'écris le premier terme de cette différence sous la forme :

2 x 9 x 9ⁿ = 9(2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ  + 9 x 2ⁿ)    

cette différence devient :    

9(2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ  + 9 x 2ⁿ) - 9 x 2 x 2ⁿ    elle est égale à

9(2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ) + 81 x 2ⁿ - 18 x 2ⁿ =

9(2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ) + 63 x 2ⁿ          on observe :

(2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ) est un multiple de 7

63 x 2ⁿ aussi (63 = 7 x 18)

La somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7.

J'ai donc montré que si (2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ)  est un multiple de 7, alors 2 x 9^n+1 - 9 x 2^n+1 est un multiple de 7.

On termine le raisonnement : cette propriété est vraie pour le rang 2, si elle est vraie pour le rang n elle est vraie pour le rang n+1. Elle est donc toujours vraie.