Bonsoir, J'aurais besoin d'aide pour ce dm en maths a rendre pour jeudi, S'il vous plait aidez moi, merci d'avance

Bonjour,

1) Si x₀ est une racine non nulle de P, alors : P(x₀) = 0

Or, P étant réciproque : P(1/x₀) = 1/x₀ⁿP(x₀)

On en déduit : P(1/x₀) = 0

Et donc 1/x₀ est une aussi une racine de P.

2) a) P(1/x)

= 4(1/x)⁴ - 12(1/x)³ + (1/x)² - 12(1/x) + 4

= (1/x⁴)[4 - 12x + x² - 12x³ + 4x⁴]

= (1/x⁴)P(x)

⇒ P est réciproque

b) X = x + 1/x pour x ≠ 0

⇒ X² = (x + 1/x)²

⇔ X² = x² + 2*x*1/x + (1/x)²

⇔ X² = x² + 2 + (1/x)²

⇔ X² - 2 = x² + (1/x)²

c) P(x) = x²(4x² - 12x  + 1 - 12/x + 4/x²)

d) (E) : P(x) = 0

P(0) = 4 ⇒ 0 n'est pas solution de (E)

⇒ (E) ⇔ 4x² - 12x + 1 - 12/x + 4/x² = 0

⇔ 4(x² + 1/x²) - 12(x + 1/x) + 1

Donc, en posant X = x + 1/x :

(E) ⇔ (E₁) : 4(X² - 2) - 12X + 1

⇔ 4X² - 12X - 7 = 0

e) Δ(E₁) = (-12)² - 4x4x(-7) = 144 + 112 = 256 = 16²

Donc (E₁) a 2 solutions :

X₁ = (12 - 16)/8 = -1/2   et X₂ = (12 + 16)/8 = 7/2

On en déduit les solutions de (E) :

x + 1/x = -1/2 ⇔ 2(x² + 1) = -x ⇔ 2x² + x + 2 = 0 pas de solution réelle

ou :

x + 1/x = 7/2 ⇔ 2(x² + 1) = 7x ⇔ 2x² - 7x + 2 = 0

Δ = 49 - 16 = 33

donc 2 solutions à (E) :

x₁ = (7 - √33)/4      (≈ 0,314)

et x₂ = (7 + √33)/4 (≈ 3,186)