montrer que le nombre 7^n +1 est divisible par 8 si n est impair ? merci

Réponse :

Bonjour,

On pose n=2k+1 puisque n est impair.

Si k=0 alors 7^(2*0+1)+1=7^1+1=8 est un multiple de 8 (initialisation)

Par récurrence si la propriété est vrai pour 2k+1 alors elle est vrai pour 2*k+3.

Je note mul8 un multiple de 8.

[tex]7^{2k+1}+1=mul8\\\\7^{2k+3}+1\\\\=7^{2k+1}(7^2+1)\\\\=7^{2k+1}(8-1)^2+1\\\\=7^{2k+1}(8^2-2*8*1+1^2)+1\\\\=7^{2k+1}*(8^2-2*8)+7^{2k+1}+1\\\\=7^{2k+1}*mul8+mul8\\\\=mul8(7^{2k+1}+1)\\\\=mul8.\\[/tex]