Bonjour j'ai besoin d'un coup de main pour cet exercice sur les récurrences Merci d'avance pour votre aide

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour,

Montrons par récurrence sur n∈ℕ* la propriété P : "[tex]S_n=\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)=n^2[/tex]"

Initialisation :

[tex]S_1=\sum\limits_{k=1}^1 (2k-1)=2*1-1=1=1^2[/tex]

Donc P est vraie au rang 1.

Hérédité :

On suppose P vraie pour un certain n∈ℕ*

[tex]S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1) = (2(n+1)-1)+\sum\limits_{k=1}^{n} (2k-1) = 2n+2-1+\sum\limits_{k=1}^{n} (2k-1) = 2n+1+\sum\limits_{k=1}^{n} (2k-1)[/tex]

Or [tex]\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)=n^2[/tex] par hypothèse de récurrence

Ainsi, [tex]S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1) =2n+1+n^2=n^2+2n+1=(n+1)^2[/tex]

Donc P est vraie au rang n+1.

Conclusion :

∀n∈ℕ*, P est vraie.