Mathématiques

Question

Je ne comprends pas cet exercice pouvez-vous m'aider merci d'avance

Voici l'exercice:
L'échelle de Beaufort est une échelle de mesure de la vitesse du vent: elle peut être modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle [0;12] par f(x)=√3x^3 , où x est le Beaufort et f(x) la vitesse du vent exprimée en nœuds.

1) Montrer que la fonction f est croissante sur [0;12]
2) pour une vitesse de vent de 32 nœuds , déterminer l'arrondi à l'entier le plus proche de Beaufort correspondant
3) une tempête a des vents de 100 km/h quel est le beaufort de cette tempête? ( un nœud = 1,85 km/h )

1 Réponse

  • b = ∛[(v/3)²] avec v en km/h

    exemple avec vent de 81 km/h --> v/3 = 27

    --> 27² = 729 --> b = ∛729 = 9 sur l' échelle

    de Beaufort ( Amiral Anglais ! ) .

    On peut mettre cette formule sous la forme :

    b³ = (v/3)² --> √b³ = v/3 --> v = 3*√b³

    --> v/1,852 = 1,62*√b³ .

    ■ ici f(x) = v/1,852 donc f(x) = 1,62*√x³

                                                  ≈ √(2,624x³) .

    ■ dérivée f ' (x) = 0,5*3*2,624x² / √(2,624x³)

                             = 3,936x² / √(2,624x³) > 0

       la fonction f est toujours croissante !

    2°) résolvons : √(2,624x³) = 32

                              2,624x³ = 1024

                                       x³ ≈ 390,2

                                       x ≈ 7,3

    on retient 7 sur l' échelle de Beaufort !

    3°) 100 km/h --> 54 noeuds

            --> on doit résoudre √(2,624x³) = 54

                                                  2,624x³ = 2916

                                                           x³ ≈ 1111,3

                                                           x ≈ 10,4

    on retient 10 sur l' échelle de Beaufort !

    ■ remarque :

    pour x = 12 sur l' échelle de Beaufort

    --> f(12) = √(2,624*12³) = √4534,3

                = 67,34 noeuds --> 125 km/h !!

                                         

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