Bonsoir pouvez vous m'aidez s'il vous plait pour cette exercice Merci d'avance a ceux qui pourrons m'aidez

1a) Zo = 1 ;

    Z1 = 1 + i/√3 = (2/√3) * [ (√3 /2 + i/2 ]

                         = (2/√3) * exp (iπ/6) .

1b) Z2 = (4/3) * exp(iπ/3)

     Z3 = (8/ 3√3) * exp(iπ/2)

     Z4 = (16/9) * exp(2iπ/3)

     Z5 = (32/ 9√3) * exp(5iπ/6)

     Z6 = (64/27) * exp(iπ)

     Zn+1 = (2/√3) * exp(iπ/6) * Zn donc la suite (Zn) est bien une suite géométrique de terme initial Zo = 1 et de raison (2/√3) * exp(iπ/6) .

     Zn = (2/√3) puiss(n) * exp(inπ/6) .

2a) dn+1 = | Zn+2 - Zn+1 | = (2/√3) puiss(n+2) - (2/√3) puiss(n+1)

                                         = [ (2/√3) puiss(n+1) ] * (2/√3 - 1)

     dn = [ (2/√3) puiss(n) ] * (2/√3 - 1)

     donc dn+1 / dn = 2/√3 d' où dn+1 = (2/√3) * dn .

      (dn) est donc une suite géométrique

        de terme initial | Z1 - Zo | = (2/√3 - 1) = (2-√3)/√3 ≈ 0,1547

        et de raison 2/√3 ≈ 1,1547 .

2b) dn = | Zn+1 - Zn | = | Zn * i/√3 |

      donc dn² = | Zn² * (-1/3) | = (1/3) * (2/√3) puiss(2n)

     | Zn+1 |² = (2/√3) puiss(2n+2) = (4/3) * (2/√3) puiss(2n)

     | Zn |² = (2/√3) puiss(2n) = (3/3) * (2/√3) puiss(2n)

      d' où | Zn+1 |² = | Zn |² + dn² .

2c) grâce à la réciproque de Pythagore,

      on peut conclure que OAnAn+1 est bien un triangle

        rectangle d' hypoténuse OAn+1 ( donc rectangle en An ) .