a et b sont deux nombres reels .demontrer que :a2(carre)+ab+b2=(a+b/2)2(carre)+3b2/4.en deduire que pour tous les nombres reels a et b,le nombre a2+ab+b2 est po

Bonjour,


[tex](a+\dfrac{b}{2})^2+\dfrac{3b^2}{4}=a^2+2\times a\times \dfrac{b}{2}+(\dfrac{b}{2})^2+\dfrac{3b^2}{4}\\\\(a+\dfrac{b}{2})^2+\dfrac{3b^2}{4}=a^2+ab+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{3b^2}{4}\\\\(a+\dfrac{b}{2})^2+\dfrac{3b^2}{4}=a^2+ab+\dfrac{4b^2}{4}\\\\(a+\dfrac{b}{2})^2+\dfrac{3b^2}{4}=a^2+ab+b^2[/tex]

Donc   [tex]a^2+ab+b^2=(a+\dfrac{b}{2})^2+\dfrac{3b^2}{4}[/tex]

Or le membre de droite est une somme de deux carrés et des carrés sont positifs.
 
Par conséquent, cette somme est positive.

D'où le membre de gauche est positif.
 
[tex]a^2+ab+b^2>0[/tex]