Bonjour, j'ai un problème en spé maths, j'aurais besoin d'aide. Merci d'avance! 1) Soit n un entier naturel et Sn = 4^n + 5^n Démontrer que Sn+6 - Sn est divisi
Question
1) Soit n un entier naturel et Sn = 4^n + 5^n
Démontrer que Sn+6 - Sn est divisible par 7
2) Soit n un entier naturel et soit r le reste de la division euclidienne de n par 6.
Démontrer que 4^n ≡ 4^r (7) et que 5^n ≡ 5^r (7)
En déduire les restes possibles de la division euclidienne de 4^n et de 5^n par 7
3) Vérifier que Sn ≡ Sr (7)
4) Déterminez les valeurs de n pour lesquelles Sn est divisible par 7
5) Soit Tn = 102^n + 103^n
Démontrer que Sn ≡ Tn (7)
En déduire les valeurs de n pour lesquelles Tn est divisible par 7
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
1°) Sn+6 - Sn = 4 puiss(n+6) + 5 puiss(n+6) – 4 puiss(n) – 5 puiss(n)
= 2 puiss(2n+12) + 5 puiss(n) * 15625 – 2 puiss(2n) – 5 puiss(n)
= 4096 * 2 puiss(2n) -2 puiss(2n) + 15625 * 5 puiss(n) – 5 puiss(n)
= 4095 * 2 puiss(2n) + 15624 * 5 puiss(n)
= 7 * [ 585 * 2 puiss(2n) + 2232 * 5 puiss(n) ]
donc Sn+6 - Sn est bien divisible par 7 .
2°) ■ supposons n = 6k, alors r = 0 .
4 puiss(6k) = 4096 puiss(k) - 1 + 1
congru à 4095 + 1 congru à 1 = 4 puiss0 .
■ supp n = 6k+1, alors r = 1 .
4 puiss(6k+1) = 4 * 4096 puiss(k) congru à 4 = 4 puiss1 .
■ supp n = 6k+2, alors r = 2 .
4 puiss(6k+2) = 16 * 4096 puiss(k) congru à 16 = 4² .
( congru à 2 modulo 7 )
■ supp n = 6k+3, alors r = 3 .
4 puiss(6k+3) = 64 * 4096 puiss(k) congru à 64 = 4³ .
( congru à 1 )
■ supp n = 6k+4, alors r = 4 .
4 puiss(6k+4) = 256 * 4096 puiss(k) congru à 256 = 4 puiss4 .
( congru à 4 )
■ ■ 5 puiss(6k) = 15625 puiss(k) congru à 1 = 5 puiss0 .
■ ■ 5 puiss(6k+1) = 5 * 15625 puiss(k) congru à 5 = 5 puiss1 .
■ ■ 5 puiss(6k+2) = 25 * 15625 puiss(k) congru à 25 = 5² ;
( congru à 4 )
■ ■ 5 puiss(6k+3) = 125 * 15625 puiss(k) congru à 125 = 5³ ;
( congru à 6 )
■ ■ 5 puiss(6k+4) = 625 * 15625 puiss(k) congru à 625 = 5 puiss4 .
( congru à 2 )
■ ■ 5 puiss(6k+5) = 3125 * 15625 puiss(k) congru à 3125 = 5 puiss5 .
( congru à 3 )
■ ■ ■ les restes possibles de la division Euclidienne de 4 puiss(n) par 7 sont { 1 ; 4 ; 2 } . Les restes possibles de la division de 5 puiss(n) par 7 sont { 1 ; 5 ; 4 ; 6 ; 2 ; 3 } .
3°) pour n = 6k --> Sn ≡ Sr ≡ 1 + 1 = 2 ;
pour n = 6k+1 --> Sn ≡ Sr ≡ 4 + 5 ≡ 2 ;
pour n = 6k+2 --> Sn ≡ Sr ≡ 2 + 4 = 6 ;
pour n = 6k + 3 --> Sn ≡ Sr ≡ 1 + 6 ≡ 0 ;
pour n = 6k+4 --> Sn ≡ Sr ≡ 4 + 2 = 6 ;
pour n = 6k+5 --> Sn ≡ Sr ≡ 2 + 3 = 5 .
4°) Sn est divisible par 7 pour n = 6k+3 .
vérif pour n = 3 --> 4³ + 5³ = 64 + 125 = 189 ≡ 0 --> vérifié !
5°) 102 = 14*7 + 4 ; et 103 = 14*7 + 5 .
Donc Sn ≡ Tn ( modulo 7 ) ;
D' où Tn est divisible par 7 pour n = 6k+3 .
vérif pour n = 3 --> 102³ + 103³ = 2153935 ≡ 0 --> vérifié !