Bonjour, j'ai un dm à faire pour jeudi prochain mais après avoir longuement chercher je n'arrive pas l'exercice 2. Je l'affiche ici, si quelqu'un peut m'aider,

1) si p est un nombre entier pair alors on  peut écrire p = 2n où n est un naturel. Le carré de p est  égal à 4n² qui est un nombre pair.   "Si p est pair alors p² est pair"

si p est impair on peut écrire p = 2n + 1. Le carré est égal à (2n + 1)²

(2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) + 1 qui est impair (nombre pair + 1)

"Si p est impair alors son carré p² est impair"

2) on veut démontrer que : a) "si p² est pair alors p est pair":

la contraposée de cette proposition est "si p non pair alors p² non pair"

que l'on peut l'écrire "si p est impair alors p² est impair" (non pair = impair).

Cette dernière proposition est vraie (démontrée au 1)

Or une proposition et sa contraposée sont équivalentes (vraies et fausses en même temps. Puisque la contraposée de a) est vraie, alors a) est vraie.

conclusion : Si p² est pair alors p est pair

on démontre de même que si p² est impair alors p est impair.

3) hypothèse : √2 est un rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous forme de fraction irréductible p/q   (p et q premiers entre eux).

a) √2 = p/q  d'où  2 = p²/q² d'où p² = 2q²

b) 2q² est pair, il en est de même de p² et d'après le théorème démontré au 2) : puisque p² est pair alors p est pair.

c) puisque p est pair il peut s'écrire 2p'

on remplace p par 2p' dans p² = 2q² on obtient 4p'² = 2q², on simplifie par 2 ce qui donne 2p'² = q².

On raisonne comme au b)

2p'² est pair d'où q² pair et par suite q pair.

On vient de montrer que p et q sont pairs. Notre hypothèse était p et q premiers entre eux. Cette conclusion contredit l'hypothèse. Cela signifie que notre hypothèse était fausse et que √2 n'est pas un rationnel.