Bonsoir 1) Un triangle rectangle en a à un hypoténuse de longeur 10cm et un périmètre de 24cm. Quelles sont les longueurs des 2 autres cotés ? D'avance merci po

Bonsoir

1) Un triangle rectangle en "a" à un hypoténuse de longeur 10cm et un périmètre de 24cm. Quelles sont les longueurs des 2 autres cotés ?

D’après pythagore on a :

BA^2 + AC^2 = BC^2

BC = hypothenuse

BA = n

AC = m

BA + AC + BC = 24

n + m = 24 - 10 = 14

(n + m)^2 = 14^2

n^2 + 2nm + m^2 = 196

BA^2 + AC^2 = 10^2 = 100

n^2 + m^2 = 100

2nm = 196 - 100 = 96

nm = 96/2 = 48

n + m = 14 et nm = 48

n = 14 - m et (14 - m) x m = 48

n = 14 - m et 14m - m^2 = 48

n = 14 - m et m^2 - 14m + 48 = 0

[tex]\Delta = (-14)^{2} - 4 \times 1 \times 48 = 196 - 192 = 4[/tex]

[tex]\sqrt\Delta = 2[/tex]

n = (14 - 2)/2 = 12/2 = 6

m = (14 + 2)/2 = 16/2 = 8

Les deux longueurs sont donc :

6 et 8 cm

On vérifie :

6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 ok

6 + 8 + 10 = 24 ok

Périmètre = 24 cm ; hypoténuse = 10 cm --> reste à distribuer 14 cm !

■ 10 cm ; 7 et 7 cm --> triangle isocèle mais pas rectangle !

■ 10 ; 6 ; et 8 cm --> 10² = 6² + 8² vérifié !

■ 10 ; 5 ; et 9 cm --> 10² ≠ 5² + 9²

■ 10 ; 4 ; et 10 cm --> triangle isocèle mais pas rectangle !

■ 10 ; 3 ; et 11 cm --> 11² ≠ 10² + 3²

■ 10 ; 2 ; et 12 cm --> triangle PLAT !

■ 10 ; 1 ; et 13 cm --> impossible de construire le triangle !

■ ■ conclusion :

le seul triangle convenable a pour côtés 6 et 8 cm, et 10 cm .

■ ■ ■ remarque :

la méthode 10² = c² + (14-c)² donne 100 = c² + 196 - 28c + c²

                                                    2c² - 28c + 96 = 0

                                                       c² - 14c + 48 = 0

                                                           (c-6) (c-8 ) = 0

donc on retrouve bien c = 6 cm   OU   c = 8 cm !